Question

设函数f（x）=x+

2

x

（1）判断函数在（0，

2

]上的单调性并给出证明．
（2）求函数当x∈[

1

4

，

2

3

]时的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求导得，f′（x）=1-

2

x2

，当x∈（0，

2

）时，f′（x）＜0，所以函数在（0，

2

]上是减函数．
（2）f（x）在[

1

4

，

2

3

]上也是减函数．最值易求．

解答： 解：（1）函数在（0，

2

]上是减函数．
求导得，f′（x）=1-

2

x2

，当x∈（0，

2

）时，f′（x）＜0，所以函数在（0，

2

]上是减函数．
（2）因为[

1

4

，

2

3

]?（0，

2

]，所以f（x）在[

1

4

，

2

3

]上也是减函数．
最小值为f（

2

3

）=

2

3

+3=

11

3

，最大值为f（

1

4

）=

1

4

+8=

33

4

．

点评：本题考查函数单调性的判断以及应用：求最值，导数是研究函数单调性的有力工具．