Question

【题目】已知椭圆：的离心率，且圆过椭圆的上，下顶点.

（1）求椭圆的方程.

（2）若直线的斜率为，且直线交椭圆于、两点，点关于点的对称点为，点是椭圆上一点，判断直线与的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，0.

【解析】

(1)根据已知条件,求出,即可得到椭圆方程;

(2)设直线的方程为,将其代入椭圆方程后,根据韦达定理以及斜率公式变形,可得答案.

（1）因为圆过椭圆的上，下顶点，所以，

又离心率，所以，

于是有，解得，.所以椭圆的方程为；

（2）由于直线的斜率为，可设直线的方程为，代入椭圆：，

可得.

由于直线交椭圆于、两点，所以，

整理解得

设点、，由于点与点关于原点的对称，故点，

于是有，.

若直线与的斜率分别为，，由于点，

则，

又∵，.

于是有

，

故直线与的斜率之和为0，即.