Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在直线y=3x+4上．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）令b_n=na_n（n∈N⁺），试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由点（a_n，S_n）在直线y=3x+4上，得S_n=3a_n+4，又S_n+1=3a_n+1+4，两式相减可得数列递推式，根据递推式可判断该数列为等比数列，从而可求a_n；
（2）由（1）表示出b_n，利用错位相减法可求得T_n．

解答： 解：（1）∵点（a_n，S_n）在直线y=3x+4上，
∴S_n=3a_n+4，S_n+1=3a_n+1+4，
两式相减，得a_n+1=S_n+1-S_n=3a_n+1-3a_n，化简得2a_n+1=3a_n，
数列{a_n}为等比数列，公比q=

3

2

，
由S₁=a₁=3a₁+4，得a₁=-2，
故a_n=a₁q^n-1=-2(

3

2

)n-1（n∈N^*）．
（2）∵b_n=na_n=-2n(

3

2

)n-1（n∈N⁺），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n-1+b_n
=-2[1+2×

3

2

+3×(

3

2

)2+4×(

3

2

)3+…+（n-1）×(

3

2

)n-2+n×(

3

2

)n-1]，①

3

2

×Tn=-2[

3

2

+2×(

3

2

)2+3×(

3

2

)3+4×(

3

2

)4+…+(n-1)×(

3

2

)n-1+n×(

3

2

)n]，②
①-②得-

1

2

T_n=-2[1+

3

2

+(

3

2

)2+(

3

2

)3+…+(

3

2

)n-1-n×(

3

2

)n]，
T_n=4[1+

3

2

+(

3

2

)2+(

3

2

)3+…+(

3

2

)n-1-n×(

3

2

)n]
=4×

1-( 3 2 )n

1- 3 2

-4n×(

3

2

)n=4（2-n）•(

3

2

)n-8（n∈N^*）．

点评：本题考查由递推式求数列通项、等比数列的概念及数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．