题目内容
用综合法或分析法证明以下命题：设a，b均为正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
考点：综合法与分析法(选修）
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：法一，分析法：证明使a3+b3＞a2b+ab2成立的充分条件成立．
法二，综合法：由条件a≠b推出：a2-2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．
法二，综合法：由条件a≠b推出：a2-2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．
解答：
证明：法一：（分析法）要证a3+b3＞a2b+ab2 成立，
只需证（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）成立．
又因为a、b均为正实数，故只需证a2-ab+b2＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）2＞0显然成立，由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，∴a-b≠0，∴a2-2ab+b2＞0，∴a2-ab+b2＞ab（*）．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b），
∴a3+b3＞a2b+ab2 成立．
只需证（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）成立．
又因为a、b均为正实数，故只需证a2-ab+b2＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）2＞0显然成立，由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，∴a-b≠0，∴a2-2ab+b2＞0，∴a2-ab+b2＞ab（*）．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b），
∴a3+b3＞a2b+ab2 成立．
点评：本题主要考查用分析法和综合法证明不等式，此题还可用比较法证明，体会不同方法间的区别联系，属于中档题．
练习册系列答案
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