Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，

1

2

）到抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线的距离为

5

4

．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分于点Q（φ（m），?（m））（即点Q的坐标是实数m的表达式）．
（1）求p，t的值；
（2）用m表示△ABP 的面积S；
（3）求△ABP面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意知

2pt=1 1+ p 2 = 5 4

，由此能求出结果．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OM过AB的中点，而且直线OM的方程为x-y=0，知线段AB的中点Q（m，m），设直线AB的斜率为k（k≠0），由

y12=x1 y22=x2

，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=x₁-x₂，故k•2m=1，直线AB的方程为y-m=

1

2m

（x-m），由此能用m表示△ABP 的面积S．
（3）令u=

m-m2

，0＜u≤

1

2

，S=u（1-2u²），设S（u）=u（1-2u²），0＜u≤

1

2

，则S′（u）=1-6u²，由此能求出△ABP面积的最大值．

解答：解：（1）∵在直角坐标系xOy中，
点P（1，

1

2

）到抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线的距离为

5

4

，
点M（t，1）是C上的定点，
∴

2pt=1 1+ p 2 = 5 4

，
解得

p= 1 2 t=1

．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OM过AB的中点，而且直线OM的方程为x-y=0，
∴线段AB的中点Q（m，m），
由题意，设直线AB的斜率为k（k≠0），
由

y12=x1 y22=x2

，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=x₁-x₂，故k•2m=1，
∴直线AB的方程为y-m=

1

2m

（x-m），
即x-2my+2m²-m=0，
由

x-2my+2m2-m=0 y2=x

，消去x，得y²-2my+2m²-m=0，
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²-m，
由△=4m-4m²＞0，得0＜m＜1，
从而|AB|=

1+ 1 k2

•|y₁-y₂|=

1+4m2

•

4m-4m2

，
设点P到直线AB的距离为d，
则d=

|1-2m+2m2|

1+4m2

，
设△ABP的面积为S，
则S=

1

2

|AB|•d=|1-2（m-m²）|•

m-m2

，（0＜m＜1）．

（3）令u=

m-m2

，0＜u≤

1

2

，
则S=u（1-2u²），
设S（u）=u（1-2u²），0＜u≤

1

2

，
则S′（u）=1-6u²，
由S′（u）=0，得u=

6

6

∈（0，

1

2

），
∴S（u）_max=S（

6

6

）=

6

9

．
故△ABP面积的最大值为

6

9

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，具体涉及到直线方程的求法，抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答．