Question

函数y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,对数函数的单调性与特殊点

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．

解答： 解：∵x=-2时，y=log_a1-1=-1，
∴函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（2m+n）=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2

2

，
当且仅当

n

m

=

2m

n

时取等号，

1

m

+

1

n

的最小值为3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．