Question

7．如图，设锐角△ABC的外接圆ω的圆心为O，经过A，O，C三点的圆ω₁的圆心为K，且与边AB和BC分别相交于点M和N，现知点L与K关于直线MN对称，证明：BL⊥AC．

Answer 1

分析 连接OB，LK，OK，AN，取BC的中点D，连接OD，运用同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角的关系，BO⊥MN，由对称性可得BO∥LK；运用三角形全等的判定可得△AOK≌△LKM，得出LK=OA=OB，得出四边形BLKO为平行四边形，即可得证．

解答 证明：如图，连接OB，LK，OK，AN，取BC的中点D，连接OD，
由∠OBN+∠BNM=∠OBN+∠BAC=∠OBN+∠BOD=90°，
得出BO⊥MN，又LK⊥MN，故BO∥LK…①
又∠BAN=∠BAO+∠OAN=∠BAO+∠OCB=∠ABO+∠CBO=∠ABC，
而2∠BAN=2∠BAC+2∠CAN=2∠MNC+2∠CAN=∠MKC+∠CKN=∠MKN，
且2∠ABC=∠AOC，故∠MKN=∠AOC，
因此∠AOK=∠MKL，又KO=KA=KM=ML，
于是∠OAK=∠AOK=∠MKL=∠MLK，
所以△AOK≌△LKM，因此得出LK=OA=OB…②
由①②得出四边形BLKO为平行四边形，
故BL∥OK，由OK⊥AC，
因此有BL⊥AC．

点评 本题考查圆的垂径定理、同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角的关系、全等三角形的判定和性质和两直线平行的判定和性质，考查推理和运算能力，属于难题．