Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{cosA}{a}+\frac{cosC}{c}=\frac{1}{b}$，且b=2，a＞c．
（1）求ac的值．
（2）若△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，求a，c的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化简已知等式可得：b²=ac，结合b=2，即可得解．
（2）由S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4$×sinB=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，可解得：sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，cosB=±$\frac{3}{4}$，又由余弦定理可得a²+c²=10，结合a＞c即可求得c，a的值．

解答 解：（1）∵由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴$\frac{\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{a}+\frac{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}}{c}$=$\frac{1}{b}$，整理可得：b²=ac，
∵b=2，
∴ac=4．
（2）∵S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4$×sinB=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴解得：sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，cosB=±$\frac{3}{4}$，
又∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴4=a²+c²-2×$ac×（±\frac{3}{4}）$，解得：a²+c²=10或-2（舍去），
∵由（1）可得ac=4，
∴解得：c=2$\sqrt{2}$，或$\sqrt{2}$，
当c=2$\sqrt{2}$时，解得a=$\sqrt{2}$（由a＞c舍去），当c=$\sqrt{2}$，解得：a=2$\sqrt{2}$．
故c=$\sqrt{2}$，a=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的综合应用，解题时要注意结合已知条件舍去不合理的根，属于基本知识的考查．