Question

13．设x，y∈R⁺且x+y+z=1，求u=$\frac{3{x}^{2}-x}{1+{x}^{2}}$+$\frac{3{y}^{2}-y}{1+{y}^{2}}$+$\frac{3{z}^{2}-z}{1+{z}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 构造函数f（t）=$\frac{t}{1+{t}^{2}}$（1＞t＞0），证明函数f（t）=$\frac{t}{1+{t}^{2}}$在（0，1）上单调递增，可得x∈（0，1），（x-$\frac{1}{3}$）[f（x）-f（$\frac{1}{3}$）]≥0，从而$\frac{3{x}^{2}-x}{1+{x}^{2}}$≥$\frac{9}{10}$（x-$\frac{1}{3}$），同理$\frac{3{y}^{2}-y}{1+{y}^{2}}$≥$\frac{9}{10}$（y-$\frac{1}{3}$），$\frac{3{z}^{2}-z}{1+{z}^{2}}$≥$\frac{9}{10}$（z-$\frac{1}{3}$），即可求u=$\frac{3{x}^{2}-x}{1+{x}^{2}}$+$\frac{3{y}^{2}-y}{1+{y}^{2}}$+$\frac{3{z}^{2}-z}{1+{z}^{2}}$的最小值．

解答 解：构造函数f（t）=$\frac{t}{1+{t}^{2}}$（1＞t＞0），则f′（t）=$\frac{1-{t}^{2}}{（1+{t}^{2}）^{2}}$＞0，
∴函数f（t）=$\frac{t}{1+{t}^{2}}$在（0，1）上单调递增，
∴x∈（0，1），（x-$\frac{1}{3}$）[f（x）-f（$\frac{1}{3}$）]≥0，
∴（x-$\frac{1}{3}$）（$\frac{x}{1+{x}^{2}}$-$\frac{3}{10}$）≥0，
整理得$\frac{3{x}^{2}-x}{1+{x}^{2}}$≥$\frac{9}{10}$（x-$\frac{1}{3}$），
同理$\frac{3{y}^{2}-y}{1+{y}^{2}}$≥$\frac{9}{10}$（y-$\frac{1}{3}$），$\frac{3{z}^{2}-z}{1+{z}^{2}}$≥$\frac{9}{10}$（z-$\frac{1}{3}$），
∴u=$\frac{3{x}^{2}-x}{1+{x}^{2}}$+$\frac{3{y}^{2}-y}{1+{y}^{2}}$+$\frac{3{z}^{2}-z}{1+{z}^{2}}$≥$\frac{9}{10}$（x+y+z-1）=0，
当且仅当x=y=z=$\frac{1}{3}$时，u=$\frac{3{x}^{2}-x}{1+{x}^{2}}$+$\frac{3{y}^{2}-y}{1+{y}^{2}}$+$\frac{3{z}^{2}-z}{1+{z}^{2}}$的最小值为0．

点评 正确构造好与命题有关的函数是解题的关键．