Question

11．已知函数f（x）=x²+ax+3，
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a∈[4，6]时，f（x）≥0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，一元二次f（x）≥a恒成立，利用判别式△≤0，求出a的取值范围；
（2）x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，构造函数，利用二次函数的图象与性质，列出不等式组，求出a的取值范围；
（3）根据题意，构造函数g（a）=x²+ax+3，在a∈[4，6]时，恒有g（a）≥0，由此列出不等式组，求出x的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+ax+3，
∴当x∈R时，f（x）≥a恒成立，
即x²+ax+3-a≥0恒成立；
∴△≤0，即a²-4（3-a）≤0，
化简得a²+4a-12≤0，
解得-6≤a≤2，
∴实数a的取值范围是{a|-6≤a≤2}；
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，
化为x²+ax+3-a≥0恒成立，
令f（x）=x²+ax+3-a，则：
$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=7-3a≥0}\\{f（2）=7+a＞0}\\{-\frac{a}{2}＜-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=7-3a＞0}\\{f（2）=7+a≥0}\\{-\frac{a}{2}＞2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-\frac{a}{2}≤2}\\{\frac{12-4a{-a}^{2}}{4}≥0}\end{array}\right.$，
解得-7≤a≤2；
∴a的取值范围为[-7，2]；
（3）当a∈[4，6]时，f（x）≥0恒成立，
可设g（a）=x²+ax+3，则g（a）在a∈[4，6]时，恒有g（a）≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（4）≥0}\\{g（6）≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+3≥0}\\{{x}^{2}+6x+3≥0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3或x≥-1}\\{x≤-3-\sqrt{6}或x≥-3+\sqrt{6}}\end{array}\right.$；
即x≤-3-$\sqrt{6}$或x≥-1，
∴x的取值范围是{x|x≤-3-$\sqrt{6}$或x≥-1}．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数思想与转化思想的应用问题，是综合性题目．