Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x-1|，}&{x＞0}\\{\frac{3}{2}x+2，}&{x≤0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（sinx）=m在区间[0，2π]上有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． 0＜m＜$\frac{1}{2}$
• B． 0＜m≤$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$＜m≤1
• D． $\frac{1}{2}$＜m＜1

Answer 1

分析 讨论当x∈[0，π]时，sinx∈[0，1]，则f（sinx）=|2sinx-1|，作出y=|2sinx-1|的图象，当x∈（π，2π]时，sinx∈[-1，0]，则f（sinx）=$\frac{3}{2}$sinx+2，作出y=$\frac{3}{2}$sinx+2的图象，分别求得f（sinx）的范围，结合图象即可得到m的范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x-1|，}&{x＞0}\\{\frac{3}{2}x+2，}&{x≤0}\end{array}\right.$，
当x∈[0，π]时，sinx∈[0，1]，
则f（sinx）=|2sinx-1|，作出y=|2sinx-1|的图象，
可得f（sinx）∈[0，1]；
当x∈（π，2π]时，sinx∈[-1，0]，
则f（sinx）=$\frac{3}{2}$sinx+2，作出y=$\frac{3}{2}$sinx+2的图象，
可得f（sinx）∈[$\frac{1}{2}$，2]，
由方程f（sinx）=m在区间[0，2π]上有四个不同的实数根，
即有0＜m＜$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查分段函数的应用，考查正弦函数的图象和性质，运用数形结合的思想方法是解题的关键．