Question

1．设f（x）在区间[-a，a]上具有二阶连续的导数，a＞0，f（0）=0．证明：在（-a，a）内至少存在一点η，使a³f″（η）=3${∫}_{-a}^{a}f（x）dx$．

Answer 1

分析 根据拉格朗日中值定理即可证明．

解答 证明：带有拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
f（x）=f（0）+f'（0）x+$\frac{1}{2}$f''（η）x² η在0与x之间
=$\frac{1}{2}$f''（η）x²，
∴3${∫}_{-a}^{a}f（x）dx$=3${∫}_{-a}^{a}$$\frac{1}{2}$f''（η）x²dx
=$\frac{3}{2}$f''（η）×（$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-a}^{a}$，
=a³f''（η），问题得以证明．

点评 本题考查了拉格朗日中值定理，属于基础题．