Question

2．设a＞0，x=$\frac{1}{2}$（a${\;}^{\frac{1}{n}}$-a${\;}^{-\frac{1}{n}}$），求（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）ⁿ的值．

Answer 1

分析 将x的值代入代数式（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）ⁿ化简整理即可．

解答 解：x+$\sqrt{1{+x}^{2}}$
=[$\frac{1}{2}$（${a}^{\frac{1}{n}}$-${a}^{-\frac{1}{n}}$）+$\sqrt{1+\frac{1}{4}{（a}^{\frac{2}{n}}{+a}^{-\frac{2}{n}}-2）}$]ⁿ
=[$\frac{1}{2}$（${a}^{\frac{1}{n}}$-${a}^{-\frac{1}{n}}$）+$\frac{1}{2}$（${a}^{\frac{1}{n}}$+${a}^{-\frac{1}{n}}$）]ⁿ
=（${a}^{\frac{1}{n}}$）ⁿ
=a．

点评 本题考查了有理指数幂的化简求值问题，熟练掌握运算法则是解题的关键，本题是一道基础题．