Question

9．已知递增的等比数列{a_n}满足：a₂=4，a₁+a₂+a₃=14
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：数列{a_n}中任意三项不能构成等差数列．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意可得q的方程，解方程验证递增可得；
（2）反证法：假设数列{a_n}中三项a_m，a_n，a_p且m＜n＜p，由等差数列可得mnp的式子，推理产生奇数等于偶数的矛盾可得．

解答 （1）解：设等比数列{a_n}的公比为q，
由题意可得a₁+a₂+a₃=$\frac{4}{q}+4+4q=14$，
解得q=$\frac{1}{2}$或q=2，又a₂=4且{a_n}是递增的等比数列，
∴q=2，∴数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$；
（2）证明：假设数列{a_n}中三项a_m，a_n，a_p且m＜n＜p，
∴由等差数列可得2a_n=a_m+a_p，
∴2ⁿ=2^m-1+2^p-1，∴2^n-m+1=1+2^p-m…（*），
∵m＜n＜p，∴p-m≥2，n-m≥1，
∴（*）式左边是偶数，右边是奇数，矛盾，
∴数列{a_n}中任意三项不能构成等差数列

点评 本题考查等差数列的通项公式，涉及反证法和解方程的思想，属中档题．