Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值；

（2）当时，求证：；

（3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）利用导数的几何意义求解即可；

（2）利用导数得出函数的单调性，进而得出其最小值，即可证明；

（3）分类讨论的值，利用导数得出的单调性，结合题意，即可得出实数a的取值范围.

解：（1）因为，

所以.

由题知，

解得.

（2）当时，，

所以.

当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增；

所以是在区间上的最小值.

所以.

（3）由（1）知，.

若，则当时，，在区间上单调递增，

此时无极值.

若，令，

则.

因为当时，，所以在上单调递增.

因为，

而，

所以存在，使得.

和的情况如下：

x
		0
		极小值

因此，当时，有极小值.

综上，a的取值范围是.