Question

【题目】对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为的二阶差分数列，其中.

（1）数列的通项公式，试判断，是否为等差数列，请说明理由？

（2）数列是公比为的正项等比数列，且，对于任意的，都存在，使得，求所有可能的取值构成的集合；

（3）各项均为正数的数列的前项和为，且，对满足，的任意正整数、、，都有，且不等式恒成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1），是等差数列，见解析（2）；（3）2

【解析】

（1）根据题干中的定义，结合等差数列的定义即可判断.

（2）根据等比数列的通项公式可得，结合题干可得，从而可得，且；分类讨论、或即可求出.

（3）根据题中对数列的定义可得，从而可得，即是等差数列，根据数列为正项等差数列可得，代入等差数列前项和公式，由，可得，当时，不等式都成立；当时，令，，代入等差数列的前项和公式，作差，由，，即可求解.

解：（1）因为，所以，

则，又，所以是首项为3，公差为2的等差数列.

因为，则是首项为2，公差为0的等差数列.

（2）因为数列是公比为的正项等比数列，所以.

又，

且对任意的，都存在，使得，

所以对任意的，都存在，使得，

即，因为，所以.

若，则，解得（舍）或，

即当时，对任意的，都有.

若，则，解得（舍）或，

即当时，对任意的，都有.

若，则，

故对任意的，不存在，使得.

综上所述，所有可能的取值构成的集合为；

（3）因为，所以，

则，所以是等差数列.

设的公差为，则.

若，则；

若，则当时，，

与数列的各项均为正数矛盾，故.

由等差数列前项和公式可得，

所以，

，

又，，

所以，

则当时，不等式都成立.

另一方面，当时，令，，

则，

，

则

，

因为，，

所以当时，，即.不满足任意性.

所以 .

综上，的最大值为2.