Question

7．公司随机抽取M名员工作为样本，得到这M名员工参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中M和图中a的值；
（Ⅱ）若该公司员工有240人，试估计员工参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的员工中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

分组	频数	频率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	24	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合计	M	1

Answer 1

分析 （I）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．
（II）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．
（III）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a₁，a₂，a₃，a₄，在区间[25，30）内的人为b₁，b₂，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．

解答 解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，$\frac{10}{M}$=0.25，
∴M=40．
∵频数之和为40，
∴10+24+m+2=40，m=4．p=$\frac{m}{M}$=0.10．
∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，
∴a=$\frac{24}{40×5}$=0.12；
（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，
设在区间[20，25）内的人为a₁，a₂，a₃，a₄，在区间[25，30）内的人为b₁，b₂．
则任选2人共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，a₃），（a₂，a₄），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，a₄），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（b₁，b₂）15种情况，
而两人都在[25，30）内只能是（b₁，b₂）一种，
∴所求概率为P=1-$\frac{1}{15}$=$\frac{14}{15}$．

点评 本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，属于中档题．