Question

12．数学归纳法证明 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 运用数学归纳法证明，注意解题步骤，特别是n=k+1时，运用假设n=k的结论，结合放缩法，即可得证

解答 证明：①当n=1时，左边=1，右边=$\frac{1}{2}$，不等式成立；
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时不等式成立，即1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$＞$\frac{k}{2}$成立，
则当n=k+1时，因为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}+\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k}{2}+\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$
又因为$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}}$=$\frac{1}{2}$
所以1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k+1}{2}$
即当n=k+1时不等式成立
所以由①、②可知对所有 n∈N^*原不等式成立；

点评 本题考查不等式的证明，主要考查数学归纳法证明不等式的方法，考查推理能力，属于中档题．