Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=

1

2

，a_n=-2S_n•S_n-1 （n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{

1

Sn

}是等差数列；   
（Ⅱ）求S_n和a_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由数列递推式结合a_n=S_n-S_n-1可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，即可说明数列{

1

Sn

}是等差数列；
（Ⅱ）由数列{

1

Sn

}是等差数列求其通项公式，进一步得到Sn=

1

2n

．然后由当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-

1

2n(n-1)

求得数列的通项公式．

解答： （Ⅰ）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，①
∴S_n（1+2S_n-1）=S_n-1，由上式知若S_n-1≠0，则S_n≠0．
∵S₁=a₁≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N*)，
∴由①式可得：当n≥2时，

1

Sn

-

1

Sn-1

=2．
∴{

1

Sn

}是等差数列，其中首项为

1

S1

=

1

a1

=2，公差为2；
（Ⅱ）解：∵

1

Sn

=

1

S1

+2(n-1)=

1

a1

+2(n-1)，∴Sn=

1

2n

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-

1

2n(n-1)

，
当n=1时，a1=S1=

1

2

不适合上式，
∴an=

1 2 ，(n=1，n∈N*) - 1 2n(n-1) ，(n≥2，n∈N*)

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了由数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．