Question

18．若P（x₀，y₀）是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上异于椭圆顶点的一个动点，过P（x₀，y₀）作斜率为-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$$•\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$的直线l，原点O到直线l的距离为d，F₁，F₂分别是椭圆C的左右焦点．
（1）判定直线l与椭圆的位置关系
（2）求|PF₁|•|PF₂|+d²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意方程求出y的表达式，不妨设y₀＞0，得到y关于x的函数解析式，求导可得直线l与椭圆相切；
（2）写出直线方程点斜式，化为一般式，利用点到直线的距离公式求得d²，再由椭圆焦半径公式求得|PF₁|•|PF₂|，作和后利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），得$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴${y}^{2}={b}^{2}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}$，即y=$±\sqrt{{b}^{2}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}}$，
∵P（x₀，y₀）不是椭圆的顶点，
∴不妨设y₀＞0，则y=$\sqrt{{b}^{2}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}}$，
∴$y′{|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{2}（{b}^{2}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{{x}_{0}}^{2}）^{-\frac{1}{2}}•（-\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}{x}_{0}）$=$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{x}_{0}\sqrt{{{y}_{0}}^{2}}$=$-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}•\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴直线l与椭圆相切；
（2）由题意可得直线l的方程为$y-{y}_{0}=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}•\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（x-{x}_{0}）$，
整理得：${b}^{2}{x}_{0}x+{a}^{2}{y}_{0}y-{a}^{2}{b}^{2}=0$，
∴${d}^{2}=\frac{{a}^{4}{b}^{4}}{{b}^{4}{{x}_{0}}^{2}+{a}^{4}{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{{a}^{4}{b}^{4}}{{a}^{4}{b}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}{{x}_{0}}^{4}+{b}^{4}{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{{a}^{4}{b}^{2}}{{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$．
|PF₁|•|PF₂|=$（a+e{x}_{0}）（a-e{x}_{0}）=\frac{{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{4}}$，
∴|PF₁|•|PF₂|+d²=|PF₁|•|PF₂|=$\frac{{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{4}}+\frac{{a}^{4}{b}^{2}}{{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$
$≥2\sqrt{\frac{{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{4}}•\frac{{a}^{4}{b}^{2}}{{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}}}$=$2\sqrt{{b}^{2}}=2b$．
当且仅当$（{a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}）^{2}={a}^{8}{b}^{2}$，即${a}^{4}-{c}^{2}{{x}_{0}}^{2}={a}^{4}b$时等号成立．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的切线方程的求法，训练了利用基本不等式求得最值，考查计算能力，属于难题．