题目内容
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（c+2a）cosB+b=2bsin2$\frac{C}{2}$，且b=3，则ac的最大值为3．分析 先根据正弦定理，二倍角公式和两角和差的正弦公式，化简即可求出cosB=-$\frac{1}{2}$，再根据余弦定理和基本不等式即可求出．
解答 解：由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，（c+2a）cosB+b=2bsin2$\frac{C}{2}$，
∴（sinC+2sinA）cosB+sinB=sinB（1-cosC），
∴sinCcosB+2sinAcosB+sinB=sinB-sinBcosC，
∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosB=0，
∴sin（B+C）+2sinAcosB=0，
∴sinA+2sinAcosB=0，
∵sinA≠0，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，
由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB，
∴9=a2+c2+ac≥2ac+ac=3ac，当且仅当a=c=$\sqrt{3}$取等号，
∴ac≤3，
则ac的最大值为3．
故答案为：3．
点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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18．设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且asinB=2sin$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2}{3}$，则b等于（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{4}{3}$ |
15．已知函数f（x）=x2+4x，则f（2cosθ-1）的值域是（ ）
| A． | [-4，+∞） | B． | （-∞，-3] | C． | [-4，5] | D． | [-3，5] |
16．设α，β，γ∈（0，$\frac{π}{2}$），且sinα+sinγ=sinβ，cosα-cosγ=cosβ，则α-β的值为（ ）
| A． | -$\frac{π}{3}$ | B． | $\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{π}{3}$或-$\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{3}$ |