Question

2．已知随机变量ξ_i满足P（ξ_i=1）=p_i，P（ξ_i=0）=1-p_i，i=1，2．若0＜p₁＜p₂＜$\frac{1}{2}$，则（　　）

• A． E（ξ₁）＜E（ξ₂），D（ξ₁）＜D（ξ₂）
• B． E（ξ₁）＜E（ξ₂），D（ξ₁）＞D（ξ₂）
• C． E（ξ₁）＞E（ξ₂），D（ξ₁）＜D（ξ₂）
• D． E（ξ₁）＞E（ξ₂），D（ξ₁）＞D（ξ₂）

Answer 1

分析 由已知得0＜p₁＜p₂＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜1-p₂＜1-p₁＜1，求出E（ξ₁）=p₁，E（ξ₂）=p₂，从而求出D（ξ₁），D（ξ₂），由此能求出结果．

解答 解：∵随机变量ξ_i满足P（ξ_i=1）=p_i，P（ξ_i=0）=1-p_i，i=1，2，…，
0＜p₁＜p₂＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＜1-p₂＜1-p₁＜1，
E（ξ₁）=1×p₁+0×（1-p₁）=p₁，
E（ξ₂）=1×p₂+0×（1-p₂）=p₂，
D（ξ₁）=（1-p₁）²p₁+（0-p₁）²（1-p₁）=${p}_{1}-{{p}_{1}}^{2}$，
D（ξ₂）=（1-p₂）²p₂+（0-p₂）²（1-p₂）=${p}_{2}-{{p}_{2}}^{2}$，
D（ξ₁）-D（ξ₂）=p₁-p₁²-（${p}_{2}-{{p}_{2}}^{2}$）=（p₂-p₁）（p₁+p₂-1）＜0，
∴E（ξ₁）＜E（ξ₂），D（ξ₁）＜D（ξ₂）．
故选：A．

点评 本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．