Question

13．下列命题为真命题的是（　　）

• A． 若p∧q为假命题，则p∨q为真命题
• B． 不存在实数α，β，使得等式tanα+tanβ=tan（α+β）成立
• C． 函数f（x）=ax²+bx+c为偶函数的充要条件是 b=0
• D． 若定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+1）=1，则f（x）是一个周期为1的函数

Answer 1

分析 对于A，若p∧q为假命题⇒p、q中至少有一个为假命题，二者均假时p∨q为假，知A错误；
对于B，令α=β=0，可知B错误；
对于C，利用偶函数的定义f（-x）=f（x），可判断函数f（x）=ax²+bx+c为偶函数的充要条件是 b=0，可知C正确；
对于D，由f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，⇒f（x+2）=f（x），即f（x）是一个周期为2的函数，可知D错误．

解答 解：对于A，若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，当p、q均为假命题时，p∨q为假命题，故A错误；
对于B，存在实数α=β=0，使得等式tan0+tan0=tan（0+0）成立，故B错误；
对于C，函数f（x）=ax²+bx+c为偶函数⇒f（-x）=f（x），即ax²-bx+c=ax²+bx+c?2bx=0，x不恒为0，故b=0，反之亦然，
即函数f（x）=ax²+bx+c为偶函数的充要条件是 b=0，故C正确；
对于D，若定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+1）=1，即f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，故f[（x+1）+1]=$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），即f（x+2）=f（x），所以f（x）是一个周期为2的函数，故D错误；
综上所述，以上命题为真命题的是：C，
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的奇偶性、周期性的应用，考查充分必要条件、复合命题的真假判断，属于中档题．