Question

如图，四边形是正方形，平面，，，，， 分别为，，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使直线与直线  

所成的角为？若存在，求出线段的长；若   

不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为,分别为，的中点，

所以.

又平面，平面，

所以平面.                                   

（Ⅱ）因为平面，，

所以平面，

所以，.

又因为四边形是正方形，

所以.

如图，建立空间直角坐标系，

因为,

所以，，，

，，．

…………5分

因为，， 分别为，，的中点，

所以，，. 所以，.

设为平面的一个法向量，则,即，

再令，得.,.

设为平面的一个法向量,则,

即，令，得.

所以==.

所以平面与平面所成锐二面角的大小为.          

（Ⅲ）假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为.

依题意可设,其中.

由,则.

又因为,，所以.

因为直线与直线所成角为，，

所以=，即，解得.

所以，.

所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为，此时.