题目内容

如图，设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足
BF1
=
F1F2
，且
AB
•
AF2
=0．
（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l1：x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设B（x0，0），由已知条件推导出x0=-
b2
c
，b2=3c2，从而得到a=2c，再由
|-c-3|
2
=2c，能求出椭圆C的方程．
（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x-1），联立
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，
1
4
）．
解答： 解：（1）设B（x0，0），∵F2（c，0），A（0，b），
∴
AB
=(x0，-b)，
AF2
=(c，-b)，
∵
AB
•
AF2
=0，∴cx0+b2=0，∴x0=-
b2
c
，
∵
BF1
=
F1F2
，∴F1为BF2中点，
∴-
b2
c
+c=-2c，b2=3c2，
从而a2=4c2，∴a=2c，
∵
AB
•
AF2
=0，∴
AB
⊥
AF2
，
∴△ABF2的外接圆的圆心为F1（-c，0），半径r=
1
2
|F2B|=2c，
又直线l2 ：x-
3
y-3=0与△ABF2的外接圆相切，
∴
|-c-3|
2
=2c，解得c=1，∴a=2，b=
3
，
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x-1），
联立
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
8k2
3+4k2
，
y1+y2=k（x1+x2-2），
PM
+
PN
=（x1-m，y1）+（x2-m，y2）=（x1+x2-2m，y1+y2），
∵菱形的对角线互相垂直，∴（
PM
+
PN
）•
MN
=0，
∴（x1+x2-2m，y1+y2）•（x2-x1，y2-y1）=0，
∴（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y1+y2）（y2-y1）=0，
∵y2 -y1=k(x2-x1)≠0，
∴（x1+x2-2m）+k（y1+y2）=0，
∴
8k2
3+4k2
-2m+k2(
8k2
3+4k2
-2)=0，
由题意知k∈R且k≠0，
∴m=
k2
3+4k2
=
1
3
k2
+4
，
∴0＜m＜
1
4
，
∴存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，
1
4
）．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
与
b
的夹角为
π
6
，且
a
•
b
=
3
，则|
a
-
b
|的最小值为（　　）
A、4-2
3
B、
3
+1
C、
3
-1
D、4+2
3
在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是（　　）
A、（-∞，-2
2
）
B、[-2
2
，2
2
]
C、[-
2
5
5
，
2
5
5
]
D、（-∞，-2
2
]∪[2
2
，+∞）
某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（　　）
A、f（x）=lnx
B、f（x）=
1
x
C、f（x）=ex
D、f（x）=x3
框图表示的程序所输出的结果是
 
．
设函数f（x）=|x-3|-|x+1|，x∈R．
（1）解不等式f（x）＜-1；
（2）设函数g（x）=|x+a|-4，且g（x）≤f（x）在x∈[-2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．
已知△ABC是锐角三角形，且sin（B-
π
6
）cos（B-
π
3
）=
1
2
．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）求tanAtanC的最小值．
已知公差不为0的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{
1
anan+1
}的前n项和，若2Tn＜λ对n∈N*恒成立，求整数λ的最小值．
如图所示的程序框图输出的结果为
 
．

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