Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形为梯形， ， ， 为等边三角形， .

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角大小的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 二面角大小的余弦值为.

【解析】试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以为轴， 为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标，平面的法向量，平面的法向量，从而得到二面角大小的余弦值.

试题解析：

（1)如图取的中点，连接，依题，

所以四边形是平行四边形，

所以.因为是中点，

所以，故，

所以为等边三角形，所以，

因为，所以

所以平行四边形为菱形，

所以，所以，即，又已知，所以平面，

平面，所以平面 平面.

(2)由（1)知， 平面，平面 平面，所以如图，以为轴， 为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标.设，则， ，所以，

所以.设平面的法向量，则

，令，则，所以.

同理可得平面的法向量，所以，

所以二面角大小的余弦值为.