Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB= ，AB=2，PA=1．

（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M是PC的中点，求二面角M﹣AD﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，

在△ABC中，由余弦定理可得：AC2= ﹣2× =2，

∴AC2+BC2=AB2=4，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，

又PC∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

（2）解：由（1）可得：AD=CD=1，分别以AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

则A（0，0，0），D（1，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），M（ ， ， ），取平面ACD的法向量 = =（0，0，1）．

设平面ADM的法向量为 =（x，y，z）， =（ ， ， ）， =（1，0，0）．

由 ，得 ，取 =（0，1，﹣1）．

cos = = ，

设二面角M﹣AD﹣C的大小为θ，易知θ为锐角．∴cosθ= ，θ=45°．

∴二面角M﹣AD﹣C的大小为45°．

【解析】（1）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC．在△ABC中，由余弦定理可得：AC2=2，因此AC2+BC2=AB2 ， 可得AC⊥BC，即可证明BC⊥平面PAC．（2）由（1）可得：AD=CD=1，分别以AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．取平面ACD的法向量 = =（0，0，1）．设平面ADM的法向量为 =（x，y，z），由 ，可得 ．利用cos = ，即可得出．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．