Question

8．已知P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3，…）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1右支上的一点，F₁、F₂为双曲线的左右焦点，且满足P₁F₂⊥F₁F₂，|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，则|P₂₅F₂|的值为$\frac{71}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，知|P_nF₁|=d×e=$\frac{3}{2}$|x_n+$\frac{4}{3}$|，|P_n+1F₂|=$\frac{3}{2}$|x_n+1-$\frac{4}{3}$|，利用P₁F₂⊥F₁F₂，|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，求出x₂₅．即可得出结论．

解答 解：依题意，双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3，
它的离心率：e=$\frac{3}{2}$，准线方程为：x=±$\frac{4}{3}$．焦点坐标（±3，0）．
设点P_n到左准线的距离为d，
根据双曲线的第二定义得：|P_nF₁|=d×e=$\frac{3}{2}$|x_n+$\frac{4}{3}$|，
同理：|P_n+1F₂|=$\frac{3}{2}$|x_n+1-$\frac{4}{3}$|，
因为|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，
所以x_n+1=x_n+$\frac{8}{3}$，数列{x_n}构成一个等差数列，
又P₁F₂⊥F₁F₂，
∴x₁=c=3，
∴x_n=3+$\frac{8}{3}$（n-1），
∴x₂₅=67，
∴|P₂₅F₂|=$\frac{71}{2}$．
故答案为：$\frac{71}{2}$．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质、等差数列的判断，属于圆锥曲线与数列的综合题．