Question

【题目】）已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．
（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+ ，若g（x）有极大值点x1 ， 求证： ＞a．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f′（x）= ﹣2a，x＞0，

因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，

所以f′（x）=2在（0，+∞）上有解，

即 ﹣2a=2在（0，+∞）上有解，也即2+2a= 在（0，+∞）上有解，

所以2+2a＞0，得a＞﹣1，

故所求实数a的取值范围是（﹣1，+∞）；

（2）解：证明：因为g（x）=f（x）+ x2= x2+lnx﹣2ax，

因为g′（x）= ，

①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，

②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，

因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，

又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，

所以g′（x1）= ﹣2ax1+ =0，则a= ，

要证明 + ＞a，只需要证明x1lnx1+1＞a ，

因为x1lnx1+1﹣a =x1lnx1﹣ +1=﹣ ﹣ x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，

令h（x）=﹣ ﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），

所以h′（x）=﹣ x2﹣ +lnx，记P（x）=﹣ ﹣ +lnx，x∈（0，1），

则P′（x）=﹣3x+ = ，

当0＜x＜ 时，p′（x）＞0，当 ＜x＜1时，p′（x）＜0，

所以p（x）max=p（ ）=﹣1+ln ＜0，所以h′（x）＜0，

所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．

【解析】（1）求出函数的导数，问题转化为2+2a= 在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（2）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞a ，令h（x）=﹣ ﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．