Question

16．已知极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C₁的极坐标方程ρ=4cosθ，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t$为参数，0≤α＜π）射线$θ=φ+\frac{π}{4}，θ=φ-\frac{π}{4}$与曲线C₁交于极点O为的三点A、B、C
（1）若|OB|+|OC|=λ|OA|，求λ的值；
（2）当$φ=\frac{π}{12}$时，B、C两点在曲线C₂上，求m与α的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意表示出|OA|与|OB|，以及|OC|，代入已知等式求出λ的值即可；
（2）根据φ的度数，表示出B与C的极坐标，转化为直角坐标，根据C是经过点（m，0）且倾斜角为α的直线，确定出经过B，C的直线方程，求出m与α的值．

解答 解：（1）根据题意得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），|OC|=4cos（φ-$\frac{π}{4}$），
则|OB|+|OC|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$（cosφ-sinφ）+2$\sqrt{2}$（cosφ+sinφ）=4$\sqrt{2}$cosφ=$\sqrt{2}$|OA|，
∴λ=$\sqrt{2}$；
（2）当φ=$\frac{π}{12}$时，B，C两点的极坐标分别为（2，$\frac{π}{3}$），（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）化为直角坐标为B（1，$\sqrt{3}$），C（3，-$\sqrt{3}$），
∵C是经过点（m，0）且倾斜角为α的直线，且经过B，C的直线方程为y=-$\sqrt{3}$（x-2），
∴m=2，α=$\frac{2π}{3}$．

点评 此题考查了参数方程化为普通方程，以及简单曲线的极坐标方程，熟练掌握各坐标之间的转化是解本题的关键．