Question

9．函数f（x）=2sin²x-sin（2x-$\frac{5π}{6}$），x∈R．
（I）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）若锐角θ满足tanθ=2$\sqrt{2}$，求f（θ）的值．

Answer 1

分析 （I）利用展开得出f（θ）=1+sin（2θ$-\frac{π}{6}$）=1+sin2θ$•\frac{\sqrt{3}}{2}$$-cos2θ•\frac{1}{2}$，利用二倍角公式求解即可．

解答 解：∵f（x）=2sin²x-sin（2x-$\frac{5π}{6}$），x∈R．
∴f（x）=1$+（sin2x•\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}•cos2x）$=1+sin（2x$-\frac{π}{6}$）．
（I）最大值为2，此时2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
解得：x=kπ$+\frac{π}{3}$，k∈z．
∴f（x）取最大值2时x的取值集合{x|x=kπ$+\frac{π}{3}$，k∈z}
（II）f（θ）=1+sin（2θ$-\frac{π}{6}$）=1+sin2θ$•\frac{\sqrt{3}}{2}$$-cos2θ•\frac{1}{2}$
∵tanθ=2$\sqrt{2}$，cos2θ=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$，sin2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$
∴cos2θ=$-\frac{7}{9}$，sin2θ=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$
f（θ）=1+$\frac{4\sqrt{2}}{9}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{7}{9}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{25}{18}$$+\frac{2\sqrt{6}}{9}$

点评 本题考查三角函数的最值，涉及二倍角公式的三角函数求解问题，属中档题．