Question

11．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2正三角形，D、E分别是线段BB₁、AC₁的中点，DE⊥AC₁．
（1）求证：DE⊥平面AA₁C₁C；
（2）若AA₁C₁C是矩形，BB₁=4，求直线BB₁与平面ADC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取棱A₁C₁的中点F，连接EF、B₁F，证明四边形DEFB₁是平行四边形，通过证明B₁F⊥A₁C₁，DE⊥AC₁，推出DE⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ADC₁的一个法向量，直线的向量，设出直线BB₁与平面ADC₁成的角为θ，利用sinθ=|cosθ|，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）取棱A₁C₁的中点F，连接EF、B₁F…（1分）
则由EF是△AA₁C₁的中位线得EF∥AA₁，EF=$\frac{1}{2}{AA}_{1}$，
又DB₁∥AA₁，DB₁=$\frac{1}{2}{AA}_{1}$…（2分）
所以EF∥DB₁，EF=DB₁，故四边形DEFB₁是平行四边形…（3分）
所以DE∥B₁F…（4分）
因为B₁F⊥A₁C₁，所以DE⊥A₁C₁，又DE⊥AC₁…（5分）
所以DE⊥平面AA₁C₁C…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁F⊥平面AA₁C₁C，所以B₁F⊥C₁C，又B₁C₁⊥C₁C，
所以CC₁⊥平面A₁B₁C₁…（7分）
如图建立空间直角坐标系，A（0，0，$\sqrt{3}$），D（1，2，0），C₁（-1，4，0）…（8分）
设平面ADC₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
则由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{DC}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+2y-\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$…（9分）
解得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{3}$）…（10分）
设直线BB₁与平面ADC₁成的角为θ，
sinθ=|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{BB}_{1}}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{{BB}_{1}}\right|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．