Question

2．如图，边长为2的正方形A₁ABB₁所在平面与矩形ABCD所在平面相互垂直，且$AB=\frac{1}{2}BC$，E，F分别是AA₁和BC的中点．
（1）证明：DF⊥平面A₁AF；
（2）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出A₁A⊥DF，AF⊥DF，由此能证明DF⊥平面A₁AF．
（2）三棱锥C-BDE的体积V_C-BDE=V_E-BCD=V_E-ABD．由此能求出结果．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）如图，∵平面A₁ABB₁⊥平面ABCD，A₁A⊥AB，
∴A₁A⊥平面ABCD，
∴A₁A⊥DF，…（3分）
∵$AB=\frac{1}{2}BC$，∴AD=BC=4，BF=FC=2，
∵AB=BF=DC=2，∴$AF=DF=2\sqrt{2}$，
∵AD²=AF²+DF²，∴AF⊥DF．
∵A₁A∩AF=A，∴DF⊥平面A₁AF．…（6分）
解：（2）∵E为A₁A的中点，∴AE=1，
∴三棱锥C-BDE的体积${V_{C-BDE}}={V_{E-BCD}}={V_{E-ABD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×AD×AE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×1=\frac{4}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．