Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点分别为（-1，0），（1，0），且经过点（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设经过点（1，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q．求证：在x轴上存在定点N，使得直线NP，NQ的倾斜角互补．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆的定义直接计算可得结论；
（2）设直线l的方程为：y=k（x-1）（k≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{3}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．，x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…①
设定点N（t，0），t≠x₁，t≠x₂，要使直线NP，NQ的倾斜角互补，必要k_NP+K_NQ=0，
⇒2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0…②，把①代入②得t即可．

解答 解：（1）由椭圆的定义可知：2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+\frac{9}{4}}+\frac{3}{2}=4$
，∴a=2，由c=1得：b=$\sqrt{3}$
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）设直线l的方程为：y=k（x-1）（k≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{3}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…①
设定点N（t，0），t≠x₁，t≠x₂
要使直线NP，NQ的倾斜角互补，必要k_NP+K_NQ=0，
y_i（x₂-t）+y₂（x₁-t）=0⇒k（x₁-1）（x₂-t）+k（x₂-1）（（x₁-t）=0
⇒2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0…②
把①代入②得t=4
在x轴上存在定点N（4，0），使得直线NP，NQ的倾斜角互补．

点评 本题主要考查了圆锥曲线中的定点问题，运算能力要求高，属于压轴题，