Question

12．如图所示，已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，则该双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先求出直线l的方程为y=$\frac{2ab}{{a}^{2}-{b}^{2}}$（x-c），与y=±$\frac{b}{a}$x联立，可得A，B的纵坐标，利用$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，
∴k_l=$\frac{2ab}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
∴直线l的方程为y=$\frac{2ab}{{a}^{2}-{b}^{2}}$（x-c），
与y=±$\frac{b}{a}$x联立，可得y=-$\frac{2abc}{3{a}^{2}-{b}^{2}}$或y=$\frac{2abc}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，
∴$\frac{2abc}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2•$\frac{2abc}{3{a}^{2}-{b}^{2}}$，
∴a=$\sqrt{3}$b，
∴c=2b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．