Question

13．确定下式中的数系A，B，C，D：
（a+b+c）⁴=A（a⁴+b⁴+c⁴）+B（a³b+a³c+b³a+b³c+c³a+c³b）+C（a²bc+ab²c+abc²）+D（a²b²+b²c²+c²a²）．

Answer 1

分析 由条件利用二项式定理，求得A、B、C、D的值．

解答 解：由于（a+b+c）⁴表示4个因式（a+b+c）的乘积，故a⁴、b⁴、c⁴的系数都是1，故A=1．
由于在4个因式（a+b+c）中，有3个因式选a，第四个因式选b，即可得到含a³b的项，故a³b的系数为${C}_{4}^{3}$=4，
同理，a³c、b³a、b³c、c³a、c³b的系数都是4，故B=4．
由于在4个因式（a+b+c）中，有2个因式选a，一个因式选b，另一个因式选c即可得到含a²bc的项，故a²bc的系数为${C}_{4}^{2}$•${C}_{2}^{1}$=8，
同理，a²bc、ab²c、abc²的系数都是12，故C=12．
由于在4个因式（a+b+c）中，有2个因式选a，2个因式选b，即可得到含a²b²的项，故a²b²的系数为${C}_{4}^{2}$=6，
同理可得，a²b²、b²c²、c²a²的系数都是6，故D=6．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．