Question

4．已知函数f（x）=asinx-bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$处取得最大值，则函数y=f（x+$\frac{π}{4}$）是（　　）

• A． 奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
• B． 偶函数且它的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称
• C． 奇函数且它的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称
• D． 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

Answer 1

分析 将已知函数变形f（x）=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x-φ），根据f（x）=asinx-bcosx在x=$\frac{π}{4}$处取得最大值，求出φ的值，化简函数，即可得出结论．

解答 解：将已知函数变形f（x）=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x-φ），其中tanφ=$\frac{b}{a}$，
又f（x）=asinx-bcosx在x=$\frac{π}{4}$处取得最大值，
∴$\frac{π}{4}$-φ=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得φ=-$\frac{π}{4}$-2kπ（k∈Z），
∴f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴函数y=f（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$cosx，
∴函数是偶函数且它的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称．
故选：B．

点评 本题考查三角函数的化简与性质，考查学生对奇偶函数的基本知识的了解，属于中档题．