Question

【题目】如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过与轴垂直的直线交椭圆于点，且

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，问是否存在直线与椭圆交于不同的两点，，且的垂直平分线恰好过点？若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题（1）直接依据定义求得椭圆的长轴长，又右焦点为，从而得到其标准方程；（2）本题需分与轴垂直和不垂直两种情况简单讨论，当不垂直时，可设的方程为，联立椭圆方程，转化为一元二次方程方程有两解问题求得斜率取值范围．

试题解析：（1） 连接，在中，，，∴

∴ 由椭圆定义可知即，又，从而，

∴ 椭圆的标准方程为．

（2） 由题意可知，若的垂直平分线恰好过点，则有，

当与轴垂直时，不满足；当与轴不垂直时，

设的方程为，由，消得，

∵，

∴，①式

令，，的中点为，则

∴，，

∴， 又∵，

∴即，化简得，

结合①式得，即，解之得：，

综上所述，存在满足条件的直线，且其斜率的取值范围为.