Question

16．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e^xf（x）＞4+2e^x（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^xf（x）-2e^x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：设g（x）=e^xf（x）-2e^x，（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-2e^x=e^x[f（x）+f′（x）-2]，
∵f（x）+f′（x）＞2，
∴f（x）+f′（x）-2＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵e^xf（x）＞2e^x+4，
∴g（x）＞4，
又∵g（1）=ef（1）-2e=4，
∴g（x）＞g（1），
∴x＞1，
故选：A．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键