Question

6．如图，在平面直角坐标系中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），已知（1，e）在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（I） 求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，直线AF₂与直线BF₁交于点P，|PA|：|PF₂|=|PF₁|：|PB|=3：1，求直线AF₁的斜率．

Answer 1

分析 （I）据椭圆的性质c=1和已知点（1，e）代入椭圆方程，即可求得a²，b²，求得椭圆方程；
（Ⅱ）利用直线AF₁∥BF₂，设出AF₁的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，求得A、B坐标，分别求得|AF₁|和|BF₂|，利用|AF₁|：|BF₂|3：1，即可求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：$e=\frac{c}{a}$，c=1，将点（1，e）代入椭圆方程得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由|PA|：|PF₂|=|PF₁|：|PB|及∠APF₁=∠F₂PB，
有△AF₁P∽△F₂PB，则∠AF₁P=∠F₂BP，
∴AF₁∥BF₂，且|AF₁|：|BF₂|=3：1，
设直线AF₁的方程为y=k（x+1），（由题意k＞0），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
则由A（$\frac{-2{k}^{2}+\sqrt{2{k}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{k+k×\sqrt{2{k}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$），
同理由AF₁∥BF₂有B（$\frac{2{k}^{2}+\sqrt{2{k}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{k×\sqrt{2{k}^{2}+2}-k}{1+2{k}^{2}}$），
则有|AF₁|=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}（1+\sqrt{2{k}^{2}+2}）}{1+{2k}^{2}}$，|BF₂|=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}（\sqrt{2{k}^{2}+2}-1）}{1+{2k}^{2}}$，
∴|AF₁|：|BF₂|=（1+$\sqrt{2{k}^{2}+2}$）：（$\sqrt{2{k}^{2}+2}-1$）=3：1，
解得：k=1，
则直线AF₁的斜率为1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题．