Question

1．已知抛物线y²=4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为P，以坐标原点O为圆心，以|OF|长为半径的圆，与抛物线在第四象限的交点记为B，∠FPB=θ，则sinθ的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$-1
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$-1

Answer 1

分析 求出圆O的方程，联立方程组解出B的横坐标，根据圆的性质和抛物线的性质得出sinθ=$\frac{|BF|}{|PF|}$．

解答 解：抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，∴P（-1，0），∴圆O的方程为x²+y²=1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得x²+4x-1=0，解得x=$\sqrt{5}$-2或x=-$\sqrt{5}$-2（舍）．
∵B在抛物线y²=4x上，
∴|BF|=$\sqrt{5}$-2+1=$\sqrt{5}-1$．
∵PF是圆O的直径，∴PB⊥BF，∴sinθ=$\frac{|BF|}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的性质，属于基础题．