Question

设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.
（1）求函数，的解析式；
（2）求函数在上的最小值；
（3）判断函数零点个数.

Answer 1

（1）.
（2）；
（3）函数只有一个零点.

试题分析：(1) 应用导数的几何意义，确定切点处的导函数值，得切线斜率，建立的方程组.
(2) 应用导数研究函数的最值，基本步骤明确，本题中由于中的不确定性，应该对其取值的不同情况加以讨论.
当时，在单调递减，单调递增，
得到.
当时，在单调递增，得到；
即 .
（3）由题意
求导得，
由,确定的单调区间：上单调递增，在上单调递减
根据，
得到函数只有一个零点.           13分，即得所求.
试题解析：(1) ，                       1分
由题意，两函数在处有相同的切线.
，
.                         3分
(2) ，由得，由得，
在单调递增，在单调递减.               4分

当时，在单调递减，单调递增，
∴.                                      5分
当时，在单调递增，
；
                  6分
（3）由题意
求导得，         8分
由得或，由得 
所以在上单调递增，在上单调递减    10分
           11分
                       12分
故函数只有一个零点.                      13分