Question

已知函数（e为自然对数的底数）
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，存在实数，使得成立，求实数的取值范围

Answer 1

（1）在上单调递增，在上单调递减；（2） 

试题分析：（1）求导得，根据导数的符号即可求出的单调区间（2）如果存在，使得成立，那么 由题设得，求导得 由于含有参数，故分情况讨论，分别求出的最大值和最小值如何分类呢？由得，又由于 故以0、1为界分类 当时，在上单调递减；当时，在上单调递增以上两种情况都很容易求得的范围当时，在上单调递减，在上单调递增，所以最大值为中的较大者，最小值为，一般情况下再分类是比较这两者的大小，但，由（1）可知，而，显然，所以无解
试题解析：（1）∵函数的定义域为R，                   2分
∴当时，，当时，
∴在上单调递增，在上单调递减   4分
（2）假设存在，使得成立，则。
∵
∴           6分
当时，，在上单调递减，∴，即
8分
②当时，，在上单调递增，∴，即
10分
③当时，
在，，在上单调递减，
在，，在上单调递增，
所以，即―――――――― 
由（1）知，在上单调递减，
故，而，所以不等式无解
综上所述，存在，使得命题成立 12分