Question

【题目】已知函数f（x）＝ax﹣sinx（a∈R）.

（1）当时，f（x）0恒成立，求正实数a的取值范围；

（2）当a≥1时，探索函数F（x）f（x）﹣cosx+a﹣1在（0，π）上的零点个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由已知分离参数后构造函数，转化为求解函数的最值或范围，结合导数可求；

（2）由已知结合导数分析函数的性质，然后结合函数的零点判定定理可求.

解：（1）因为，

所以，

令，，

再令m（x）xcosx﹣sinx，m'（x）cosx﹣xsinx﹣cosx﹣xsinx0，

所以m（x）在（0，）上单调递减，

所以m（x）m（0）＝0.

所以g'（x）0，则g（x）在（0，）上单调递减，

所以g（x）g（），

所以a，

又a0，

即正实数a的取值范围是（0，].

（2）F（x）f（x）﹣cosx+a﹣1ax﹣sinx﹣cosx+a﹣1，

则，

因为x∈（0，π），

故，

又a≥1，

故F′（x）0对x∈（0，π）恒成立，

即F（x）在区间（0，π）单调递增；

又F（0）＝a﹣2，F（π）＝a（1+π）0，

故当1≤a2时，F（0）＝a﹣20，此时F（x）在区间（0，π）内恰好有1个零点；

当a≥2时，F（0）＝a﹣2≥0，此时F（x）在区间（0，π）内没有零点.