题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
的底面是菱形， 
， 
， 
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）取
中点
，根据平几知识可得
，再根据勾股定理可得
，最后根据线面垂直判定定理可得结论（2）利用空间向量求线面角，首项根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面法向量，再根据向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系得结果
试题解析：（1）证明：如图，
取
中点
，连接
、
、
，则
和
分别是等边三角形、等腰直角三角形.
故
， 
，且
， 
，
所以
，
故
，
所以
平面
.
又
平面
，从而平面
平面
.
（2）如图，建立空间直角坐标系
.
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，解得
， 
，即
，
记直线
与平面
所成角的平面角为
，则
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
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