Question

【题目】已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线与曲线的公共点的极坐标；

（2）若点的极坐标为，设曲线与轴相交于点，则在曲线上是否存在点，使得，若存在，求出点的直角坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，点

【解析】

（1）先求出曲线和的直角坐标方程，联立方程求得两曲线的公共点的直角坐标，再转化为极坐标；

（2）求出点和点的直角坐标，假设存在点满足条件，设点，求得，，由题意得，结合数量积的坐标表示即可求出答案．

解：（1）由题知，曲线消去参数得到曲线的直角坐标方程为，

曲线消去参数得到曲线的直角坐标方程为，

联立与的直角坐标方程解得或，

故两曲线的公共点的直角坐标为和，

∴曲线与曲线的公共点的极坐标为，；

（2）点的直角坐标为，点的直角坐标为，

假设存在点满足条件，不妨设点，

则，，

因为，所以，即，且，

得，

化简得，又，

得，，

所以点，

即在曲线上存在点，使得．