Question

已知二次函数
（1）若试判断函数零点个数；
（2）若对任意的,且＜，（＞0），试证明：
＞成立。
（3）是否存在，使同时满足以下条件：①对任意，，且②对任意的,都有？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1) 零点为1个或2个;(2)见解析；(3) 。

试题分析：（1）∵f（-1）=0，∴a-b+c=0即b=a+c，故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）^2，
当a=c时，△=0，函数f（x）有一个零点；当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）-=
==
因为＜，（＞0）所以>0,即->0,
所以＞成立。
（3）假设存在a，b，c满足题设，由条件①知抛物线的对称轴为x=-1且f(x)_min=0；?∴即，所以a=c,在条件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，?∴f（1）=1，?即a+b+c=1，由得，所以存在使f(x)同时满足条件①②。
点评：本题考查函数零点个数与方程根的个数问题，以及存在性问题的处理方式，属于较难的题目．主要分析思路（1）通过对二次函数对应方程的判别式进行分析判断方程根的个数，从而得到零点的个数；（2）存在性问题的一般处理方法就是假设存在，然后根据题设条件求得参数的值．