Question

（本题满分14分）设为非负实数，函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数的零点个数，并求出零点．

Answer 1

（Ⅰ）的单调递增区间是和，单调递减区间是
（Ⅱ）当时，函数的零点为；
当时，函数有一个零点，且零点为；
当时，有两个零点和；
当时，函数有三个零点和.

试题分析：（Ⅰ）当时，，          ……2分
①当时，，∴在上单调递增；
② 当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，的单调递增区间是和，单调递减区间是.     ……6分
（Ⅱ）（1）当时，，函数的零点为；
（2）当时，，
故当时，，二次函数对称轴，
∴在上单调递增，；
当时，，二次函数对称轴，
∴在上单调递减，在上单调递增；
∴的极大值为，
 当，即时，函数与轴只有唯一交点，即唯一零点，
由解之得
函数的零点为或（舍去）；
 当，即时，函数与轴有两个交点，即两个零点，分别为和；
 当，即时，函数与轴有三个交点，即有三个零点，
由解得，，
∴函数的零点为和.
综上可得，当时，函数的零点为；
当时，函数有一个零点，且零点为；
当时，有两个零点和；
当时，函数有三个零点和.                    ……14分
点评：判断函数的单调性可以用单调性的定义并结合常见函数的单调性，二此函数判断单调性要结合二次函数的图象，分类讨论时要做到不重不漏.