Question

在下面几个关于圆锥曲线命题中
①方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
②设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|-|PB|=K，则动点P的轨迹为双曲线
③过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线的准线上的射影分别为A₁、B₁，则∠A₁FB₁=90°
④双曲线

x2

6

-

y2

3

=1的渐近线与圆（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，则r=

3

．
其中真命题序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①求出方程2x²-5x+2=0的两根，结合椭圆、双曲线的离心率，判定命题正确；
②根据双曲线的定义判定命题错误；
③根据题意，画出图形，结合图形，得出命题正确；
④求出圆心到双曲线的渐近线的距离，得出圆的半径，判定命题正确．

解答： 解：对于①，方程2x²-5x+2=0的两根是

1

2

，2；

1

2

可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率；
∴命题①正确；
对于②，A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|-|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线的一支，
∴命题②错误；
对于③，根据题意，画出图形，；
结合图形，得AA₁=AF，
∴∠AFA₁=∠AA₁F；
又∵AA₁∥FE，
∴∠EFA₁=∠AA₁F，
∴∠EFA₁=∠AFA₁=

1

2

∠EFA；
同理∠EFB₁=

1

2

∠EFB，
∴∠A₁FB₁=∠EFA₁+∠EFB₁=

1

2

（∠EFA+∠EFB）=90°；∴命题③正确；
对于④，双曲线

x2

6

-

y2

3

=1的渐近线是y=±

1

2

x，
∴圆心（3，0）到直线x±

2

y=0的距离d=

|3×1+2×0|

3

=

3

=r，
∴半径r=

3

；∴命题④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了圆锥曲线的定义，简单的几何性质以及应用问题，解题时应对每一个命题认真分析，以便作出正确的选择，是中档题．