Question

5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=AP=3，AD=PB=2，E为线段AB上一点，且AE：EB=7：2，点F、G分别为线段PA、PD的中点．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）若平面EFG将四棱锥P-ABCD分成左右两部分，求这两部分的体积之比．

Answer 1

分析 （1）证明PE⊥AB，利用平面PAB⊥平面ABCD，即可证明：PE⊥平面ABCD；
（2）若平面EFG将四棱锥P-ABCD分成左右两部分，利用分割法求体积，即可求这两部分的体积之比．

解答 （1）证明：在等腰△APB中，$cos∠ABP=\frac{{\frac{1}{2}PB}}{AB}=\frac{1}{3}$，
则由余弦定理可得，$P{E^2}={（\frac{2}{3}）^2}+{2^2}-2×\frac{2}{3}×2×\frac{1}{3}=\frac{32}{9}$，∴$PE=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，…（2分）
∴PE²+BE²=4=PB²，∴PE⊥AB，…（3分）
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PE⊥平面ABCD．…（4分）
（2）解：设平面EFG与棱CD交于点N，连接EN，因为GF∥AD，所以GF∥平面ABCD，
从而可得EN∥CD．…（6分）
延长FG至点M，使GM=GF，连接DM，MN，则AFE-DMN为直三棱柱，…（7分）
∵F到AE的距离为$\frac{1}{2}PE=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，$AE=\frac{7}{3}$，
∴${S_{△AEF}}=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{7\sqrt{2}}}{9}$，
∴${V_{AFE-DMN}}=\frac{{7\sqrt{2}}}{9}×2=\frac{{14\sqrt{2}}}{9}$，${V_{G-DMN}}=\frac{1}{3}×\frac{{7\sqrt{2}}}{9}×1=\frac{{7\sqrt{2}}}{27}$，
∴${V_{AEF-NDG}}={V_{AFE-DMN}}-{V_{G-DMN}}=\frac{{35\sqrt{2}}}{27}$，
又${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×PE×{S_{矩形ABCD}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$，
∴${V_左}：{V_右}=\frac{{35\sqrt{2}}}{27}：（\frac{{8\sqrt{2}}}{3}-\frac{{35\sqrt{2}}}{27}）=35：37$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．